Nash neden Nobel aldı?

Dün bu satırlarda ülkeyi saran 'Nash salgını' esnasında Nash ile ilgili her şeyin yazılıp, çizilip konuşulduğunu, ama Nash'in bilimsel katkısının ülkemizde üvey çocuk muamelesi gördüğünü, pek tartışılmadığını vurgulamış ve katkısını anlatmak için bir örnek vermiştik.

Oyun teorisinin temelleri 1928 yılında John von Neumman adlı Macar asıllı matematikçinin ispatladığı minimax teoremi ile atılmıştı. Von Neumann 1931 yılında Almanya'dan ABD'ye göç sonrası Princeton Üniversitesi'ne gelmiş, 1938 yılında kendisi de Avusturya'dan göç etmiş iktisatçı Oscar Morgenstern ile orada buluşmuş ve oyun teorisinin ekonomik uygulamalarını 1944 yılında beraberce yazdıkları 'The Theory of Games and Economic Behavior' adlı kitapla gündeme getirmişlerdi. Von Neumann atom bombasından bilgisayara kadar bir sürü şeyin yaratılmasına önemli katkılar yapmış bir dahi matematikçi idi.

Nash ise 1948 yılında Princeton Üniversitesi'ne bir öğrenci olarak geldiğinde orada bulunan Einstein, von Neumann gibi şöhretli bilim adamlarının ve matematikçilerin ortasına düşmüş, onlarla yüz yüze gelmiş ve konuşmuştu. Von Neumann ile de oyun teorisi konusunda 1949 yılında atışmıştı, von Neumann onu ciddiye almamıştı. Bu atışma sonrasında ise, Nash 1950 yılında sonraları kendisine Nobel getiren 'oyunlarda denge' teoremini bulmuştu. Von neumann ve Morgenstern kooperasyonun olduğu sınırlı tip oyunlarla daha çok ilgilenirken (zero sum oyunlar), Nash kooperasyonun olmadığı ve çok sayıda oyuncunun olduğu çok daha genel ortamlarda en azından bir adet Nash dengesi bulunduğunu Brouwer'in 'fix nokta' teoremlerini 1941 yılında genelleştiren Kakutani'ye dayanarak ispatlamıştı. Bu büyük bir katkı idi. İyi de Nash dengesi ne demekti?

Dün bu satırlarda verdiğimiz örneği tekrar buraya alıyoruz. Farzedelim ki bir karı koca birbirlerinden keyif almakta ve beraber musmutlu yaşamakta, ama evden çıkıp başka faaliyetler yaptıkları zaman da zevkleri farklı. Diyelim ki koca boş zamanında evde futbol maçı seyretmeyi seviyor. Eş ise lokantada dostlar ile yemek yemeyi. Bir gece karı koca karar verecekler, evde kalıp futbol maçı mı seyredilsin, yoksa dostlarla kafa çekmeye mi gidilsin. Şimdi bu ortamda karı ve kocanın çeşitli kararlardan aldıkları hazzı rakamsal olarak verelim (sorgula, bu mümkün mü?)!

Aşağıdaki tabloda karı ve kocanın haz rakamları (!) verilirken, her hücrede ilk rakam kocanın keyfi, ikinci rakam karının keyfi. Tabloda alternatifler 'evde maç' veya 'lokantada keyif' olarak basit şekilde yazılmış.

Şimdi karı koca karar verecekler. Evde maç mı seyredilsin, yoksa lokantaya mı gidilsin? Tarafların canım-cicim yaklaşımları arasında gizlenmiş stratejileri ve oyuncuklar da var! Mesela içinde (10.5) yazılı hücrede koca 10 keyif, eş 5 keyif alıyor. Evde maç seyredilirse koca mutlu, ama eş (4.8) yazılı hücrede alabileceği 8 keyiften daha az keyif almış olacak.

İşte böyle bir ortamda Nash ne diyor? Önce işe karı açısından bakın. İş ona kalsa (4.8) kutusunu yani dışarda lokanta alternatifini seçerdi. Ama karısının bunu seçeceğini düşünen koca da bu durumda 2 yerine 4 haz alabilmek için dışarda lokanta alternatifini seçti. Çünkü (2.4) kutusu yerine (4.8) kutusunda olup 4 haz almak isterdi. İşte (4.8) noktası bir Nash denge noktası. Nash dengesi, öyle bir nokta ki, hiçbir oyuncu o naktaya gelindiğinde o naktadan başka yere gitmeyi düşünmemekte.

Şimdi tersini düşünelim. İlk önce koca tercih yapsın. Koca (10.5) hücresinde olmayı seçerdi. Çünkü en yüksek haz 10 ile bu hücrede. Ama bu durumda karısı (2.4) hücresine kilitlenmemek için (10.5) hücresine razı olurdu. Yani (10.5) hücresi de bir Nash dengesi. Bu basit örnekte iki adet Nash dengesi var (10.5 ve 4.8 hücrelerinin ikisi de Nash dengesi).

Yani Nash dengesi stratejisi bir oyuncunun karşısındaki oyuncunun oynayacağını düşündüğü stratejiye karşı kendisi açısından en iyi strateji. Nash dengesi stratejisi seçildiğinde de kimse o dengeden başka bir yere gitmek istemiyor. İşte Nash ağır matematik kullanarak, böyle bir dengenin çoğu şartlarda mevcut olduğunu ispat ederek, von Neumann'ın yaklaşımını genelleştirmiş, çözüm üretmiş ve denge kavramını yerleştirmişti. Böylece de oyun teorisinin bir sürü alanda kullanımının yolunu açmış ve Nobel'i hak etmişti. Bugün Nash dengesi ekonomi dışında biyoloji ve siyaset bilimi gibi son derece farklı alanlarda kullanılabilen önemli bir kavram. Bu da Nash'in psikolojik sorunlarından çok daha önemli.